허준이 교수 필즈상 수상 (한국인 최초, 대단한 이유)

 

허준이 미국 프린스턴대 교수 겸 한국 고등과학원(KIAS) 수학부 석학교수가 2022년 7월 5일 필즈상 수상의 쾌거를 이루자 수학계에서 축하의 목소리가 터져나왔습니다.

한국계 인사나 국내 대학(서울대) 졸업자나 국내 연구기관 재직자가 필즈상을 받은 것은 이번이 사상 처음입니다.

허준이 교수

허준이 교수 필즈상

 

허준이 교수는 고등과학원에서 2015∼2021년 스칼라(KIAS Scholar)를, 2021년부터 올해 초까지 수학부 교수를 지냈으며, 올해 수학부 석학교수로 임용됐습니다.

수학계에서는 허준이 교수의 필즈상 수상이 한국 수학계의 위상을 더욱 높였다며 탄성이 나오고 있습니다.

한국 수학자로는 처음으로 필즈상을 받은 허준이(39. June Huh) 미국 프린스턴대 교수 겸 한국 고등과학원(KIAS) 수학부 석학교수는 초·중·고교 시절 수학 점수로 칭찬받는 일이 드물었다는 '늦깎이 수학 천재'라고 합니다.

허준이 교수는 아버지 허명회 고려대 통계학과 명예교수와 어머니 이인영 서울대 노어노문과 명예교수의 미국 유학 시절인 1983년 캘리포니아에서 태어났습니다.

현재는 미국 국적자지만 2살 때 부모를 따라 한국에 들어온 뒤 초등학교와 중학교 모두 한국에서 다닌 '국내파' 입니다.

그는 고등학교 자퇴 후 검정고시를 보고 2002년 서울대학교(물리천문학부)에 입학해 졸업 후 서울대 대학원 석사(수리과학부)를 마치고 미시간대에서 박사(수학) 학위를 받았습니다.

허준이 교수 늦깎이 수학천재

허준이 교수 필즈상

필즈상 수상자 대부분이 어렸을 때부터 번뜩이는 '천재성'으로 두각을 나타낸 것과 달리 허 교수의 초등학생 때 수학 성적은 신통치 않았다고 합니다. 그 스스로 수학을 잘하지 못한다고 생각했을 정도였다고 합니다.

허준이 교수는 2017년 온라인 수학·과학전문매체 '콴타매거진' 인터뷰에서 수학을 '논리적으로 필요한 진술이 산더미처럼 쌓인 메마른 과목'이라고 봤다며 "진짜 창조적 표현을 하고 싶어서 시를 쓰기 시작했다"고 회상했습니다.

그렇게 습작 활동을 하며 시인을 꿈꾸던 그는 '생계유지' 방편으로 과학 기자로까지 눈을 돌리다 갑작스럽게 인생의 대전환을 맞게 됩니다.

학부 졸업반 때 서울대의 노벨상급 석학초청 사업으로 초빙된 일본 수학자 히로나카 헤이스케(91) 교수의 강의를 듣게 되면서 부터인데 히로나카 교수는 1970년 필즈상을 받은 일본의 대표적인 수학자입니다.

자신의 첫 번째 과학 기사 인터뷰 대상을 히로나카 교수로 하겠다는 생각으로 그의 대수기하학 강의를 수강했고, 히로나카 교수와 점심때 수시로 만나 돈독한 관계를 유지하다가 20대 중반에 본격적인 수학자로서의 길을 걷기 시작했습니다.

허준이 교수의 석사과정 지도교수인 김영훈 서울대 수리과학부 교수는 서울대 수리과학부 교수들이 학생들에게 히로나카 교수 수업을 수강할 것을 독려해 초기에는 앉을 자리가 없을 정도로 몰렸지만 학기가 끝날 때 허준이 교수를 비롯한 몇 명만 남았다고 전하기도 했습니다.

허준이 교수는 박사과정 1학년 때인 2012년 리드(Read) 추측을 시작으로 강한 메이슨(strong Mason) 추측, 다우링-윌슨(Dowling-Wilson) 추측 등 난제를 하나씩 증명하며 수학계에서 두각을 나타내기 시작했습니다.

허준이 교수가 '수학계의 정점에 섰다'는 평가를 받은 건 박사 학위를 받고 나서 3년이 지난 2017년 입니다.
다른 2명의 수학자와 함께 로타 추측을 증명하는 데 성공한 업적을 내면서입니다.

수학계에서는 허준이 교수같이 늦게 출발한 학자가 이런 성과까지 얻은 것에 대해 '18세에 처음 테니스 라켓을 잡은 선수가 20세에 윔블던에서 우승한 것과 같다'고 비유하곤 합니다.

새로운 발견을 위해 길게는 수십 년간 연구해야 하는 수학 분야에서 거의 일어나지 않을 법한 '뜻밖의 여정'이라는 것입니다. 이른바 '수포자'가 될 수도 있었던 허준이 교수의 경력은 필즈상 수상으로 화려한 꽃을 피우기 시작합니다.

필즈상 난제 증명

허준이 교수 필즈상

세계 수학계의 영예 중에서도 손꼽히는 필즈상(Fields Medal)을 수상한 허준이 교수는 조합론의 여러 난제를 대수기하학의 기법을 활용해 증명해냈습니다.

허준이 교수는 이를 통해 서로 연관성이 크지 않은 듯했던 두 분야 사이에 밀접한 연관이 숨겨져 있었음을 밝혀냈습니다.

'수학 우주'에서 '조합론'과 '대수기하학'을 잇는 '웜홀' 같은 경로를 허준이 교수가 찾아냈다는 것이 그의 석사과정 지도교수였던 김영훈 서울대 수리과학부 교수의 비유입니다.

 

조합론과 대수기하학

허준이 교수 필즈상

'조합론'은 단순히 말하자면 '하나, 둘, 셋…'하는 식으로 하나하나 셀 수 있는 구조를 가진 수학적 대상을 다루는 분야라고 할 수 있습니다. 중·고교 수학에 나오는 '경우의 수'가 조합론의 가장 기초적인 예입니다.

도시 A와 도시 B를 잇는 길이 여러 갈래일 때 A에서 출발해 B로 가는 방법의 수, 여러 개의 칸을 주어진 몇 가지 색 중 하나씩으로만 칠할 때 이웃한 칸끼리는 색깔을 서로 다르게 칠하는 경우의 수 등을 떠올리면 됩니다.

조합론의 중심 대상은 유한하고 이산적인 구조이며, 흔히 볼 수 있는 예로는 정수, 다각형, 다면체, 논리 연산 등이 있습니다.

조합론의 연구 분야 중에서 '그래프 이론'(graph theory)라는 것이 있습니다.

조합론에서 '그래프'란 꼭짓점(vertex·node)들과 그 사이를 잇는 변(edge·link·line)들로 구성된 구조를 가리킵니다.
객체들의 쌍들이 어떤 관계를 지니는지를 표시함으로써 서로 연관된 객체들의 구조를 다루는 것이 그래프 이론으로 구글을 비롯한 인터넷 검색 기술의 핵심적 기반이기도 합니다.

'대수기하학' 역시 '대수학과 기하위상수학이 만나는 분야' 등 관점에 따라 다양한 정의가 있지만 단순화하자면 '곡선, 곡면 등 기하학적 대상들과 대수적 방정식 사이의 관계를 연구하는 분야'입니다.

과거 고교 수학에서 다루던 원·타원·포물선·쌍곡선등 '도형의 방정식'에 관한 '해석기하학'(analytic geometry)을 더욱 일반화하고 심화한 분야라고 할 수 있습니다.

리드 추측 증명

허준이 교수 필즈상

허준이 교수가 해결한 주요 문제는 리드(Read) 추측, 호가(Hoggar) 추측, 메이슨-웰시(Mason-Welsh) 추측 등 총 10여 개에 이릅니다.

이 중에서도 '리드 추측'과 그것의 확장된 형태인 '로타 추측'의 증명이 허준이 교수의 가장 유명한 학문적 성과로 꼽힙니다.

리드 추측을 설명하기 위해서는 조합론의 고전적인 문제인 '4색 문제'부터 시작해야 합니다.
이 문제는 평면 지도에 여러 나라들이 있을 때, 어떤 지도이든 4가지 색만 써서 구분해 색칠할 수 있는지 여부에 대한 물음으로 1852년 프랜시스 구드리(Gutherie)가 처음 연구했습니다.

이후 수학자들은 4색 문제에서 착안해 지도의 성질을 포착하는 수학적 도구로 '채색다항식'(chromatic polynomial)이라는 함수를 만들었습니다.

채색다항식이란 어떤 그래프에서 마주 보는 꼭짓점을 서로 다른 n개 이하의 색으로 칠하되, 한 변으로 서로 연결된 2개의 꼭짓점이 서로 다른 색으로 구분되도록 하는 경우의 수를 계산하는 식입니다.

예를 들어 삼각형을 생각해 볼 수 있습니다.

 

허준이 교수 필즈상

한 꼭짓점에 칠할 수 있는 색이 n가지(n≥3)라고 하면 그 꼭짓점의 색을 칠한 다음 꼭짓점에는 n-1가지, 그 다음 꼭짓점에는 n-2가지의 색을 칠할 수 있습니다.
이 경우를 식으로 나타내면 n x (n - 1) x (n - 2) = n³- 3n² + 2n 인데 이때 각 항 계수의 절댓값은 1, 3, 2로 커졌다가 줄어들게 됩니다.

이런 식으로 모든 그래프의 채색다항식에서 계수의 절댓값이 '하나의 산봉우리처럼'(unimodal) 한동안 증가하다가 정점을 찍고 감소할 것이라는 추측이 '리드 추측'(Read's conjecture)입니다.

단순한 삼각형이 아니라 다른 모양의 그래프는 채색다항식을 구하는 것이 훨씬 더 까다롭고 일반화되면 이 물음은 더욱 답하기 어려운 문제가 됩니다.

이 난제는 1968년 제기됐는데, 허준이 교수는 2012년 박사과정에 재학 중일 때 대수기하학의 방법론을 활용해 이 추측이 옳음을 증명했습니다.

허준이 교수는 2015년 카림 아디프라시토(Karim Adiprasito) 코펜하겐대 수리과학과 교수, 에릭 카츠(Eric Katz) 미국 오하이오주립대 수학과 교수와 공동연구를 통해 리드 추측의 확장된 형태인 로타 추측도 해결했습니다.

 

새로운 관점 수학계 제시

허준이 교수 필즈상

허준이 교수의 방법론은 대수기하학적 방법을 사용해 조합론적 대상을 연구하고 조합론적 방법을 사용해 대수기하학을 연구할 수 있다는 새로운 관점을 수학계에 제시했다는 점에서 의미가 크다는 것이 전문가들의 설명입니다.

허준이 교수는 그만의 방법론을 통해 다양한 수학적 대상에서 공통적으로 뽑아낼 수 있는 일종의 대수적 구조('코호몰로지'(cohomology)라고 불림)가 기하학과 대수학을 넘어 조합론에도 있음을 밝히고자 합니다.

허준이 교수의 석사과정 지도교수인 김영훈 서울대 수리과학부 교수는 그의 방법론에 대해 "서로 연관성이 없어 보이는 조합론과 대수기하학의 우주 사이에 웜홀(우주 내의 서로 다른 공간을 연결하는 통로)을 만들어 연결한 것"이라고 비유했습니다.

조합론은 지난 세기 후반부터 수학의 여러 분야 중에서도 빠르게 발전하고 있습니다.
오직 0과 1만을 사용해 연산하는 컴퓨터가 등장하면서 유한한 경우의 수를 따지는 알고리즘은 조합수학의 대표적 응용 분야라고 할 수 있습니다.

 

 

허준이 교수 연구 응용분야

허준이 교수 필즈상

앞으로 정보통신, 반도체 설계, 물류, 기계학습, 통계물리, 인터넷 검색 등 다양한 분야에 무궁무진하게 응용될 잠재력이 있습니다.

기초적인 그래프 이론의 활용이 구글 검색을 가능하게 했다고 최근의 사례를 들면서 앞으로 허준이 교수의 연구가 사람들의 생활을 혁명적으로 바꾸는 기술의 기초가 될 수 있다고 설명했습니다.

허준이 교수 한국인 최초 필즈상 수상 내용을 알아보았습니다.

 

 

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